富集分析原理

对于基因集功能富集分析原理之前一直不怎么清楚，虽然已经可以做出 GO/KEGG 富集分析，但原理还没有去学习过，这显然是不行的。参考了许多老师的文章，写一下自己对于富集分析原理的理解。

首先以统计学中经典的抽球的例子来说明（借鉴 CJ 老师的文章）：

假设现在有 A、B、C 三个人从一个袋子里不放回地抽球，袋子里有 20 个白球和 80 个黑球共计 100 个小球，A 随机抽出 2 个白球 8 个黑球

	背景	抽球
黑球	80	8
白球	20	2

抽到白球的概率是 20%。

那么 A 抽出白球的概率和背景中抽出白球的概率是一致的，也可以说 A 抽出白球的概率是随机的。

B 随机抽出 3 个白球 7 个黑球

	背景	抽球
黑球	80	7
白球	20	3

抽到白球的概率是 30%。

C 随机抽出 10 个白球 0 个黑球

	背景	抽球
黑球	80	0
白球	20	10

抽到白球的概率是 100%。

现在来看看上面三种情况，A 的情况是随机可以发生的；B 的情况有一定的概率发生；而 C 的情况基本上可以表明其一定会发生，也就是说 C 可以仅仅只抽出白球。

这个例子放在生物信息学中也同样使用，只不过将袋子中的 100 个球换成了不同的基因功能。

假设我们现在通过转录组数据得到了 10 个差异表达基因，这个物种有 100 个基因，那么如果有 20 个基因在数据库中的注释表明其与激素响应相关，80 个不相关，我们如何确定差异基因是否与激素响应相关？

这里也涉及到一个检验的问题，回到抽球问题中，A 抽到白球的概率是 20%、B 抽到白球的概率是 30%、C 抽到白球的概率是 100%，它们都超过或者等于背景中白球的概率，那么我们就需要对其检验，保证其不是因为随机波动而产生的结果，也就是计算超几何分布的概率：

$$P(X = k) = \frac{{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}}{{\binom{N}{n}}}$$

• $N$表示总体容量
• $K$表示总体中成功/关注事件的数量
• $n$表示从总体中选取的样本容量
• $k$表示样本中成功/关注事件的数量
• $\binom{A}{B}$表示组合数，即从集合$A$中选取$B$个元素的方式数

对于 B：

$$P(X = 3) = \frac{{\binom{20}{3} \cdot \binom{100-20}{10-3}}}{{\binom{100}{10}}} = 0.3187799$$

对于 C：

$$P(X = 10) = \frac{{\binom{20}{10} \cdot \binom{100-20}{10-10}}}{{\binom{100}{10}}} = 1.067318e-08$$

超几何分布的概率越小，说明白球在抽出来的球中占比越大，我们越能保证其富集结果的准确，这里的超几何分布概率就是 GO/KEGG 富集分析结果中的 p 值。

如果鉴定的这 10 个差异表达基因中 2 个与激素响应相关，那么我们无法确定差异基因是否与激素响应相关，因为随机性太强，也就是说发生的概率是随机的；如果有 3 个与激素响应相关呢？它的超几何分布概率大于 0，我们也无法确定，因为这种可能性发生的概率依旧比较大；如果 10 个基因全部与激素响应相关呢？它的超几何分布已经非常小了，说明其发生误差的可能性极小，那么我们似乎就可以认为这些基因是与激素响应相关的。

这里还要区分“富集”与“富集显著”的概念：

上述按理，B 和 C 抽白球比例都各自超过背景比例，那么这种情况类比上，就是“富集”，因为偏离了背景。但是通过检验，B 抽白球出现的情况更可能是一种随机波动，而 C 抽取白球出现的情况则明显非正常，类比下，就是“富集显著”。

结合到生物信息学中，我们从转录组数据的差异表达分析中得到一系列差异表达基因，然后根据富集分析将这些基因按照功能进行归类，通过 p 值检验哪些归类的结果是随机的，去掉这些随机的结果就可以得到可靠的归类结果，再按照归类的基因功能去寻找我们感兴趣的基因。